Κεφάλαιο 3: Συναρτήσεις
Έννοια Συνάρτησης, Γραφικές Παραστάσεις, Ευθεία, Υπερβολή
3.1 Η Έννοια της Συνάρτησης
Ορισμός: Συνάρτηση
Μια συνάρτηση είναι μια αντιστοιχία που σε κάθε τιμή της μεταβλητής x αντιστοιχεί μία και μόνο μία τιμή της y.
Διαβάζεται: "y ίσον f του x" ή "y συνάρτηση του x"
Παραδείγματα Συναρτήσεων
y = 2x (το διπλάσιο του x)
y = x + 3 (ο x αυξημένος κατά 3)
y = x² (το τετράγωνο του x)
Εμβαδόν τετραγώνου: E = α² (συνάρτηση της πλευράς)
Περίμετρος κύκλου: Π = 2πr (συνάρτηση της ακτίνας)
Ορολογία
x = ανεξάρτητη μεταβλητή (την επιλέγουμε εμείς)
y = εξαρτημένη μεταβλητή (εξαρτάται από το x)
f = το όνομα της συνάρτησης
f(2) = η τιμή της συνάρτησης για x = 2
Παράδειγμα Υπολογισμού
Αν f(x) = 3x - 2, βρες το f(4):
f(4) = 3 · 4 - 2 = 12 - 2 = 10
Πώς καταλαβαίνω αν είναι συνάρτηση;
Για κάθε x πρέπει να βγαίνει ΜΟΝΟ ΜΙΑ τιμή y.
Αν για το ίδιο x βγαίνουν δύο διαφορετικά y, τότε ΔΕΝ είναι συνάρτηση!
3.2 Καρτεσιανές Συντεταγμένες
Καρτεσιανό Σύστημα Συντεταγμένων
Δύο κάθετοι άξονες που τέμνονται στο σημείο O (αρχή των αξόνων):
Άξονας x'x (οριζόντιος) - άξονας τετμημένων
Άξονας y'y (κατακόρυφος) - άξονας τεταγμένων
y
|
| A(3,2)
------+-------> x
|
|
Συντεταγμένες Σημείου
Κάθε σημείο A στο επίπεδο έχει συντεταγμένες A(x, y)
x = τετμημένη (οριζόντια απόσταση από O)
y = τεταγμένη (κατακόρυφη απόσταση από O)
Παραδείγματα Σημείων
A(3, 2): 3 μονάδες δεξιά, 2 μονάδες πάνω
B(-2, 4): 2 μονάδες αριστερά, 4 μονάδες πάνω
Γ(0, 5): Πάνω στον άξονα y, 5 μονάδες πάνω
Δ(4, 0): Πάνω στον άξονα x, 4 μονάδες δεξιά
O(0, 0): Η αρχή των αξόνων
Τα 4 Τεταρτημόρια
1ο τεταρτημόριο: x > 0, y > 0 (δεξιά-πάνω)
2ο τεταρτημόριο: x < 0, y > 0 (αριστερά-πάνω)
3ο τεταρτημόριο: x < 0, y < 0 (αριστερά-κάτω)
4ο τεταρτημόριο: x > 0, y < 0 (δεξιά-κάτω)
Γραφική Παράσταση Συνάρτησης
Πώς σχεδιάζουμε γραφική παράσταση;
Βήμα 1: Φτιάχνουμε πίνακα τιμών (δίνουμε τιμές στο x, βρίσκουμε τα y)
Βήμα 2: Σημειώνουμε τα σημεία (x, y) στο σύστημα αξόνων
Βήμα 3: Ενώνουμε τα σημεία
Παράδειγμα: Γραφική παράσταση της y = 2x
| x | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 |
|---|---|---|---|---|---|
| y = 2x | -4 | -2 | 0 | 2 | 4 |
Σημεία: (-2,-4), (-1,-2), (0,0), (1,2), (2,4)
Ενώνοντάς τα → Ευθεία γραμμή που περνά από την αρχή!
3.3 Η Συνάρτηση y = αx
Ευθεία που περνά από την αρχή των αξόνων O(0,0)
Χαρακτηριστικά
Η γραφική παράσταση είναι ευθεία γραμμή
Περνά πάντα από το O(0,0)
Το α λέγεται συντελεστής διεύθυνσης (κλίση)
Αν α > 0
Η ευθεία είναι ανοδική (ανεβαίνει από αριστερά προς δεξιά)
Αν α < 0
Η ευθεία είναι καθοδική (κατεβαίνει από αριστερά προς δεξιά)
Τι σημαίνει η κλίση α;
Όσο μεγαλύτερο το |α|, τόσο πιο απότομη η ευθεία!
y = 3x → πιο απότομη από την y = x
y = 0.5x → πιο "πλαγιαστή" από την y = x
Παραδείγματα
y = x → κλίση 45° (διχοτόμος 1ου & 3ου τεταρτημορίου)
y = 2x → πιο απότομη, ανοδική
y = -x → κλίση -45° (διχοτόμος 2ου & 4ου τεταρτημορίου)
y = -3x → πιο απότομη, καθοδική
3.4 Η Συνάρτηση y = αx + β
Γενική εξίσωση ευθείας (γραμμική συνάρτηση)
Σημασία των α και β
α = συντελεστής διεύθυνσης (κλίση)
β = σταθερός όρος = σημείο τομής με τον άξονα y
Η ευθεία τέμνει τον άξονα y στο σημείο (0, β)
Παράδειγμα: y = 2x + 3
Κλίση α = 2 (ανοδική)
Τέμνει τον y στο (0, 3)
| x | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 |
|---|---|---|---|---|---|
| y = 2x+3 | -1 | 1 | 3 | 5 | 7 |
Γρήγορη Σχεδίαση Ευθείας
Αρκούν 2 σημεία για να σχεδιάσουμε ευθεία!
Συνήθως βρίσκουμε:
1. Το σημείο τομής με y: θέτω x = 0
2. Το σημείο τομής με x: θέτω y = 0
Παράδειγμα: Σχεδίασε την y = -x + 4
Τομή με y: x = 0 → y = 4 → Σημείο (0, 4)
Τομή με x: y = 0 → 0 = -x + 4 → x = 4 → Σημείο (4, 0)
Ενώνουμε τα (0, 4) και (4, 0) → Καθοδική ευθεία
Παράλληλες Ευθείες
Δύο ευθείες είναι παράλληλες αν έχουν την ίδια κλίση (ίδιο α).
π.χ. y = 2x + 1 και y = 2x - 3 είναι παράλληλες (α = 2)
3.5 Η Συνάρτηση y = α/x (Υπερβολή)
Η γραφική παράσταση είναι υπερβολή
Προσοχή!
Για x = 0 η συνάρτηση ΔΕΝ ΟΡΙΖΕΤΑΙ (διαίρεση με μηδέν!)
Χαρακτηριστικά Υπερβολής
Αποτελείται από 2 κλάδους (δύο ξεχωριστές καμπύλες)
Οι άξονες x και y είναι ασύμπτωτες (η καμπύλη πλησιάζει αλλά δεν αγγίζει)
Έχει κέντρο συμμετρίας την αρχή O
Αν α > 0
Κλάδοι στο 1ο και 3ο τεταρτημόριο
π.χ. y = 6/x
Αν α < 0
Κλάδοι στο 2ο και 4ο τεταρτημόριο
π.χ. y = -6/x
Παράδειγμα: y = 6/x
| x | -6 | -3 | -2 | -1 | 1 | 2 | 3 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| y = 6/x | -1 | -2 | -3 | -6 | 6 | 3 | 2 | 1 |
Παρατήρηση: x · y = 6 (σταθερό γινόμενο!)
Εφαρμογή: Αντίστροφη Αναλογία
Η υπερβολή εμφανίζεται όταν δύο μεγέθη είναι αντιστρόφως ανάλογα:
Ταχύτητα - Χρόνος (για σταθερή απόσταση): v = d/t
Εργάτες - Μέρες (για σταθερό έργο): E = k/t
Σύγκριση Τύπων Συναρτήσεων
y = αx
Ευθεία από O
Ανάλογα ποσά
y/x = α (σταθερό)
y = αx + β
Ευθεία
Γραμμική σχέση
Τέμνει y στο (0, β)
y = α/x
Υπερβολή
Αντίστρ. ανάλογα
x·y = α (σταθερό)
Ασκήσεις
Αν f(x) = 3x - 5, υπολόγισε τα f(2), f(0), f(-1)
Λύση
f(2) = 3·2 - 5 = 6 - 5 = 1
f(0) = 3·0 - 5 = 0 - 5 = -5
f(-1) = 3·(-1) - 5 = -3 - 5 = -8
Βρες τα σημεία τομής της y = 2x - 4 με τους άξονες.
Λύση
Τομή με y (x=0): y = 2·0 - 4 = -4 → (0, -4)
Τομή με x (y=0): 0 = 2x - 4 → 2x = 4 → x = 2 → (2, 0)
Ποια από τις παρακάτω ευθείες είναι παράλληλες;
α) y = 3x + 1, β) y = 2x - 5, γ) y = 3x - 4, δ) y = -3x + 2
Λύση
Παράλληλες είναι οι ευθείες με ίδια κλίση (ίδιο α).
α) κλίση = 3, β) κλίση = 2, γ) κλίση = 3, δ) κλίση = -3
Παράλληλες: α) και γ) (και οι δύο έχουν κλίση 3)
Για τη συνάρτηση y = 12/x, συμπλήρωσε τον πίνακα:
| x | 1 | 2 | 3 | 4 | 6 | 12 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| y | ? | ? | ? | ? | ? | ? |
Λύση
| x | 1 | 2 | 3 | 4 | 6 | 12 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| y | 12 | 6 | 4 | 3 | 2 | 1 |
Μια ευθεία περνά από τα σημεία A(0, 3) και B(2, 7). Βρες την εξίσωσή της.
Λύση
Η ευθεία είναι y = αx + β
Περνά από (0, 3) → β = 3
Περνά από (2, 7) → 7 = α·2 + 3 → 2α = 4 → α = 2
Εξίσωση: y = 2x + 3
Περίληψη
Τι μάθαμε:
- Συνάρτηση: Αντιστοιχία x → y (ένα y για κάθε x)
- Καρτεσιανό σύστημα: Άξονες x'x και y'y, σημείο A(x,y)
- y = αx: Ευθεία από O, α = κλίση
- y = αx + β: Ευθεία, τέμνει y στο (0, β)
- y = α/x: Υπερβολή, αντίστροφη αναλογία
- Παράλληλες: Ίδια κλίση (ίδιο α)