Κεφάλαιο 2: Πραγματικοί Αριθμοί
Τετραγωνική Ρίζα, Άρρητοι Αριθμοί, Πραγματικοί Αριθμοί
2.1 Τετραγωνική Ρίζα Θετικού Αριθμού
Ορισμός: Τετραγωνική Ρίζα
Τετραγωνική ρίζα ενός θετικού αριθμού α είναι ο θετικός αριθμός που όταν υψωθεί στο τετράγωνο δίνει τον α.
Παραδείγματα
√4 = 2 γιατί 2² = 4
√9 = 3 γιατί 3² = 9
√25 = 5 γιατί 5² = 25
√0 = 0 γιατί 0² = 0
√1 = 1 γιατί 1² = 1
Τέλειο Τετράγωνο
Ένας αριθμός λέγεται τέλειο τετράγωνο αν είναι το τετράγωνο κάποιου φυσικού αριθμού.
| Αριθμός | 1 | 4 | 9 | 16 | 25 | 36 | 49 | 64 | 81 | 100 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| √ | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
Απομνημόνευσε!
Τα τέλεια τετράγωνα μέχρι το 100: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100
Και τα επόμενα: 121 (11²), 144 (12²), 169 (13²), 196 (14²), 225 (15²)
Προσοχή!
Η τετραγωνική ρίζα αρνητικού αριθμού ΔΕΝ ΟΡΙΖΕΤΑΙ στους πραγματικούς αριθμούς!
Δηλαδή: √(-4) δεν υπάρχει (στους πραγματικούς)
Ιδιότητες Τετραγωνικής Ρίζας
Η ρίζα γινομένου ίση με το γινόμενο των ριζών
Παράδειγμα
√(4 · 9) = √36 = 6
√4 · √9 = 2 · 3 = 6
Η ρίζα πηλίκου ίση με το πηλίκο των ριζών
Παράδειγμα
√(16/4) = √4 = 2
√16 / √4 = 4 / 2 = 2
Η ρίζα στο τετράγωνο δίνει τον αρχικό αριθμό
Η ρίζα του τετραγώνου δίνει την απόλυτη τιμή
Προσοχή - Λάθος!
√(α + β) ≠ √α + √β
Παράδειγμα: √(9 + 16) = √25 = 5, αλλά √9 + √16 = 3 + 4 = 7 ≠ 5
2.2 Άρρητοι Αριθμοί - Πραγματικοί Αριθμοί
Ρητοί Αριθμοί (ℚ)
Οι ρητοί αριθμοί είναι όσοι μπορούν να γραφούν ως κλάσμα α/β (με β ≠ 0).
Παραδείγματα: 3, -5, 1/2, 0.75, 0.333...
Άρρητοι Αριθμοί
Οι άρρητοι αριθμοί είναι όσοι ΔΕΝ μπορούν να γραφούν ως κλάσμα. Έχουν άπειρα δεκαδικά ψηφία χωρίς περίοδο.
Παραδείγματα: √2, √3, √5, π (= 3.14159...)
Γιατί το √2 είναι άρρητος;
√2 = 1.41421356237... (συνεχίζεται επ' άπειρον χωρίς επανάληψη)
Δεν μπορεί να γραφεί ως κλάσμα ακεραίων!
Πώς ξέρω αν μια ρίζα είναι άρρητη;
Η √α είναι ρητή μόνο αν ο α είναι τέλειο τετράγωνο (1, 4, 9, 16, 25...)
Διαφορετικά είναι άρρητη!
√2 → άρρητος (το 2 δεν είναι τέλειο τετράγωνο)
√9 = 3 → ρητός (το 9 είναι τέλειο τετράγωνο)
Πραγματικοί Αριθμοί (ℝ)
Οι πραγματικοί αριθμοί είναι όλοι οι ρητοί και οι άρρητοι μαζί.
Φυσικοί (ℕ)
0, 1, 2, 3, ...
Ακέραιοι (ℤ)
..., -2, -1, 0, 1, 2, ...
Ρητοί (ℚ)
1/2, -3/4, 0.5, ...
Άρρητοι
√2, √3, π, ...
Φυσικοί ⊂ Ακέραιοι ⊂ Ρητοί ⊂ Πραγματικοί
Υπολογισμός και Προσέγγιση Ρίζας
Παράδειγμα: Υπολόγισε προσεγγιστικά το √50
Βήμα 1: Βρίσκω ανάμεσα σε ποια τέλεια τετράγωνα είναι το 50
49 < 50 < 64
7² < 50 < 8²
Άρα: 7 < √50 < 8
Βήμα 2: Πιο κοντά στο 49, άρα √50 ≈ 7.07
Ακριβής τιμή: √50 = √(25·2) = 5√2 ≈ 7.071
Απλοποίηση Ρίζας
Βγάζουμε έξω από τη ρίζα τα τέλεια τετράγωνα:
√12 = √(4·3) = √4 · √3 = 2√3
√18 = √(9·2) = √9 · √2 = 3√2
√50 = √(25·2) = √25 · √2 = 5√2
√72 = √(36·2) = √36 · √2 = 6√2
Τεχνική Απλοποίησης
1. Παραγοντοποίησε τον αριθμό
2. Βρες τέλεια τετράγωνα
3. Βγάλε τη ρίζα τους έξω
√48 = √(16·3) = √16 · √3 = 4√3
Πράξεις με Ρίζες
Πρόσθεση/Αφαίρεση Ριζών
Προσθέτουμε/αφαιρούμε μόνο όμοιες ρίζες (ίδιο υπόρριζο):
Παραδείγματα
3√2 + 5√2 = 8√2 (όμοιες)
4√3 - √3 = 3√3 (όμοιες)
2√2 + 3√3 = 2√2 + 3√3 (δεν γίνεται - ανόμοιες)
Με απλοποίηση πρώτα:
√12 + √27 = ?
√12 = √(4·3) = 2√3
√27 = √(9·3) = 3√3
√12 + √27 = 2√3 + 3√3 = 5√3
Πολλαπλασιασμός Ριζών
√α · √β = √(α·β)
Παραδείγματα
√2 · √8 = √16 = 4
√3 · √12 = √36 = 6
2√3 · 4√3 = 8 · (√3)² = 8 · 3 = 24
Ασκήσεις
Υπολόγισε: √49 + √81 - √16
Λύση
= 7 + 9 - 4 = 12
Απλοποίησε: √75
Λύση
√75 = √(25·3) = √25 · √3 = 5√3
Υπολόγισε: √8 + √18
Λύση
√8 = √(4·2) = 2√2
√18 = √(9·2) = 3√2
= 2√2 + 3√2 = 5√2
Υπολόγισε: √5 · √20
Λύση
= √(5·20) = √100 = 10
Βρες ανάμεσα σε ποιους ακέραιους βρίσκεται το √30
Λύση
25 < 30 < 36
5² < 30 < 6²
5 < √30 < 6
Ποιοι από τους παρακάτω είναι άρρητοι; √4, √5, √9, √10, √16
Λύση
√4 = 2 → ρητός
√5 → άρρητος (5 δεν είναι τέλειο τετράγωνο)
√9 = 3 → ρητός
√10 → άρρητος
√16 = 4 → ρητός
Περίληψη
Τι μάθαμε:
- Τετραγωνική ρίζα: √α = β σημαίνει β² = α
- Τέλεια τετράγωνα: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100...
- Ιδιότητες: √(α·β) = √α·√β, (√α)² = α
- Άρρητοι: Ρίζες μη τέλειων τετραγώνων (√2, √3, √5...)
- Πραγματικοί = Ρητοί + Άρρητοι
- Πράξεις: Προσθέτουμε μόνο όμοιες ρίζες!