Κεφάλαιο 1: Εξισώσεις Α' Βαθμού
Μεταβλητές, Αλγεβρικές Παραστάσεις, Επίλυση Εξισώσεων
1.1 Η Έννοια της Μεταβλητής
Ορισμός: Μεταβλητή
Η μεταβλητή είναι ένα σύμβολο (συνήθως γράμμα όπως x, y, α) που αντιπροσωπεύει έναν άγνωστο αριθμό ή έναν αριθμό που μπορεί να πάρει διάφορες τιμές.
Παράδειγμα
Αν η ηλικία του Γιάννη είναι x χρόνια, τότε:
- Σε 5 χρόνια θα είναι: x + 5
- Πριν 3 χρόνια ήταν: x - 3
- Η διπλάσια ηλικία του: 2x
Ορισμός: Αλγεβρική Παράσταση
Η αλγεβρική παράσταση είναι μια μαθηματική έκφραση που περιέχει αριθμούς, μεταβλητές και πράξεις.
Παραδείγματα Αλγεβρικών Παραστάσεων
3x + 5
2α - 7
x² + 2x + 1
(y + 3) · 4
Θυμήσου!
Όταν γράφουμε 2x εννοούμε 2 · x (2 επί x)
Όταν γράφουμε x/3 εννοούμε x ÷ 3 (x δια 3)
1.2 Εξισώσεις Α' Βαθμού
Ορισμός: Εξίσωση
Η εξίσωση είναι μια ισότητα που περιέχει έναν ή περισσότερους άγνωστους αριθμούς (μεταβλητές).
Μέλη της Εξίσωσης
1ο μέλος: Η παράσταση αριστερά του "=" (π.χ. 2x + 3)
2ο μέλος: Η παράσταση δεξιά του "=" (π.χ. 11)
Λύση: Η τιμή του x που κάνει την ισότητα αληθινή
όπου α ≠ 0
Βήματα Επίλυσης Εξίσωσης
Βήμα 1
Απαλοιφή παρενθέσεων (αν υπάρχουν)
Βήμα 2
Μεταφορά όρων: x στο 1ο μέλος, σταθεροί στο 2ο
Βήμα 3
Απλοποίηση: Κάνουμε τις πράξεις σε κάθε μέλος
Βήμα 4
Διαίρεση: Διαιρούμε και τα δύο μέλη με τον συντελεστή του x
Προσοχή!
Όταν μεταφέρουμε όρο, αλλάζει το πρόσημό του!
Παράδειγμα: Λύσε την εξίσωση 3x + 5 = 2x + 9
Βήμα 1: Δεν υπάρχουν παρενθέσεις
Βήμα 2: Μεταφέρω τους όρους
3x - 2x = 9 - 5
Βήμα 3: Απλοποιώ
x = 4
Επαλήθευση: 3·4 + 5 = 12 + 5 = 17
2·4 + 9 = 8 + 9 = 17
Παράδειγμα: Λύσε την εξίσωση 2(x - 3) = 4x + 2
Βήμα 1: Απαλοιφή παρένθεσης
2x - 6 = 4x + 2
Βήμα 2: Μεταφέρω τους όρους
2x - 4x = 2 + 6
Βήμα 3: Απλοποιώ
-2x = 8
Βήμα 4: Διαιρώ με -2
x = 8 ÷ (-2) = -4
Ιδιότητες Εξισώσεων
Μπορούμε να προσθέσουμε τον ίδιο αριθμό και στα δύο μέλη
Μπορούμε να πολλαπλασιάσουμε και τα δύο μέλη με τον ίδιο αριθμό
Προσοχή!
Όταν μεταφέρουμε έναν όρο από το ένα μέλος στο άλλο, αλλάζει το πρόσημό του!
+5 γίνεται -5
-3x γίνεται +3x
1.4 Επίλυση Προβλημάτων με Εξισώσεις
Βήμα 1
Διαβάζω προσεκτικά το πρόβλημα
Βήμα 2
Ονομάζω τον άγνωστο (π.χ. x = ηλικία)
Βήμα 3
Μεταφράζω το πρόβλημα σε εξίσωση
Βήμα 4
Λύνω την εξίσωση
Βήμα 5
Ελέγχω αν η λύση έχει νόημα
Πρόβλημα
Ο Γιάννης έχει τριπλάσια χρήματα από τον Νίκο. Αν δώσει στον Νίκο 20€, θα έχουν ίσα. Πόσα χρήματα έχει ο καθένας;
Έστω x = τα χρήματα του Νίκου
Τότε 3x = τα χρήματα του Γιάννη
Μετά τη μεταφορά:
Ο Γιάννης έχει: 3x - 20
Ο Νίκος έχει: x + 20
Εξίσωση: 3x - 20 = x + 20
3x - x = 20 + 20
2x = 40
x = 20€ (Νίκος)
3x = 60€ (Γιάννης)
Έλεγχος: 60 - 20 = 40 και 20 + 20 = 40
Πρόβλημα
Ένας αριθμός αυξημένος κατά 7 ισούται με το διπλάσιό του μειωμένο κατά 5. Ποιος είναι ο αριθμός;
Έστω x = ο αριθμός
Εξίσωση: x + 7 = 2x - 5
x - 2x = -5 - 7
-x = -12
x = 12
Έλεγχος: 12 + 7 = 19 και 2·12 - 5 = 24 - 5 = 19
Ασκήσεις
Λύσε την εξίσωση: 5x - 3 = 2x + 9
Λύση
5x - 2x = 9 + 3
3x = 12
x = 4
Λύσε την εξίσωση: 3(x + 2) = 2(x - 1) + 13
Λύση
3x + 6 = 2x - 2 + 13
3x + 6 = 2x + 11
3x - 2x = 11 - 6
x = 5
Η Μαρία είναι 4 χρόνια μεγαλύτερη από τη Σοφία. Αν το άθροισμα των ηλικιών τους είναι 28, πόσων χρονών είναι η καθεμία;
Λύση
Έστω x = ηλικία Σοφίας
Τότε x + 4 = ηλικία Μαρίας
x + (x + 4) = 28
2x + 4 = 28
2x = 24
x = 12 (Σοφία)
x + 4 = 16 (Μαρία)
Λύσε: 4x - (2x + 5) = 3x - 8
Λύση
4x - 2x - 5 = 3x - 8
2x - 5 = 3x - 8
2x - 3x = -8 + 5
-x = -3
x = 3
Περίληψη
Τι μάθαμε:
- Μεταβλητή: Σύμβολο που αντιπροσωπεύει άγνωστο αριθμό
- Εξίσωση: Ισότητα με άγνωστο - ψάχνουμε τη λύση της
- Επίλυση: Μεταφέρουμε όρους, απλοποιούμε, διαιρούμε
- Κανόνας: Όταν μεταφέρουμε όρο, αλλάζει πρόσημο!