Κεφάλαιο 4: Περιγραφική Στατιστική
Συλλογή Δεδομένων, Γραφικές Παραστάσεις, Μέση Τιμή, Διάμεσος
4.1 Βασικές Έννοιες της Στατιστικής
Τι είναι η Στατιστική;
Η Στατιστική είναι ο κλάδος των μαθηματικών που ασχολείται με:
- Τη συλλογή δεδομένων
- Την οργάνωση και παρουσίασή τους
- Την ανάλυση και ερμηνεία τους
Βασική Ορολογία
Πληθυσμός: Το σύνολο όλων των ατόμων/αντικειμένων που μελετάμε
Δείγμα: Ένα μέρος του πληθυσμού που επιλέγουμε για μελέτη
Μεταβλητή: Το χαρακτηριστικό που μετράμε/καταγράφουμε
Τιμές/Δεδομένα: Οι συγκεκριμένες μετρήσεις που συλλέγουμε
Παράδειγμα
Θέλουμε να μελετήσουμε το ύψος των μαθητών της Β' Γυμνασίου ενός σχολείου.
Πληθυσμός: Όλοι οι μαθητές Β' Γυμνασίου του σχολείου
Δείγμα: 30 τυχαία επιλεγμένοι μαθητές
Μεταβλητή: Το ύψος (σε cm)
Δεδομένα: 158, 162, 155, 170, ... (τα ύψη που μετρήσαμε)
Είδη Μεταβλητών
Ποσοτικές: Εκφράζονται με αριθμούς
- Ύψος, βάρος, ηλικία, βαθμός, θερμοκρασία
Ποιοτικές: Εκφράζονται με κατηγορίες
- Χρώμα ματιών, φύλο, αγαπημένο μάθημα, τόπος κατοικίας
Πίνακας Συχνοτήτων
Τι είναι η Συχνότητα;
Η συχνότητα (f) μιας τιμής είναι το πλήθος των φορών που εμφανίζεται στα δεδομένα.
Η σχετική συχνότητα (f%) είναι η συχνότητα ως ποσοστό του συνόλου.
όπου f = συχνότητα, n = σύνολο παρατηρήσεων
Παράδειγμα: Βαθμοί 20 μαθητών σε διαγώνισμα
Δεδομένα: 8, 9, 7, 10, 8, 9, 9, 10, 7, 8, 9, 8, 10, 9, 8, 7, 9, 10, 8, 9
| Βαθμός (xi) | Καταμέτρηση | Συχνότητα (fi) | Σχετική Συχν. (f%) |
|---|---|---|---|
| 7 | ||| | 3 | 15% |
| 8 | |||| | | 6 | 30% |
| 9 | |||| || | 7 | 35% |
| 10 | |||| | 4 | 20% |
| Σύνολο | 20 | 100% |
Έλεγχος!
Το άθροισμα όλων των συχνοτήτων πρέπει να ισούται με το πλήθος των δεδομένων (n).
Το άθροισμα των σχετικών συχνοτήτων πρέπει να είναι 100%.
4.2 Γραφικές Παραστάσεις
Γιατί χρησιμοποιούμε γραφήματα;
Τα γραφήματα μας βοηθούν να:
- Παρουσιάσουμε τα δεδομένα με οπτικό τρόπο
- Συγκρίνουμε εύκολα διαφορετικές τιμές
- Εντοπίσουμε τάσεις και μοτίβα
Ραβδόγραμμα
Ράβδοι με ύψος ανάλογο της συχνότητας
Κυκλικό Διάγραμμα
Κύκλος χωρισμένος σε τομείς
Γραμμικό Διάγραμμα
Σημεία ενωμένα με γραμμές
Ιστόγραμμα
Για ομαδοποιημένα δεδομένα
Ραβδόγραμμα
Στον οριζόντιο άξονα: οι τιμές της μεταβλητής
Στον κατακόρυφο άξονα: οι συχνότητες
Κάθε ράβδος αντιστοιχεί σε μία τιμή
Ραβδόγραμμα βαθμών (7, 8, 9, 10)
Κυκλικό Διάγραμμα (Πίτα)
Ο κύκλος αναπαριστά το σύνολο (100%)
Κάθε τομέας αντιστοιχεί σε μία κατηγορία
Η γωνία κάθε τομέα: γωνία = (f% / 100) × 360°
Κυκλικό διάγραμμα (παράδειγμα)
Υπολογισμός γωνίας τομέα
Αν ένα μάθημα έχει σχετική συχνότητα 25%:
Γωνία = (25/100) × 360° = 0.25 × 360° = 90°
4.5 Μέτρα Κεντρικής Τάσης
Τι είναι τα Μέτρα Κεντρικής Τάσης;
Είναι αριθμοί που περιγράφουν το "κέντρο" ή την "τυπική τιμή" ενός συνόλου δεδομένων.
Τα πιο σημαντικά είναι: Μέση Τιμή, Διάμεσος, Επικρατούσα Τιμή
1. Μέση Τιμή (x̄)
Η μέση τιμή είναι το άθροισμα όλων των τιμών διαιρεμένο με το πλήθος τους.
ή με συχνότητες: x̄ = Σ(xi · fi) / n
Παράδειγμα 1: Απλός υπολογισμός
Βαθμοί μαθητή: 8, 7, 9, 10, 6
x̄ = (8 + 7 + 9 + 10 + 6) / 5 = 40 / 5 = 8
Παράδειγμα 2: Με πίνακα συχνοτήτων
Από τον πίνακα βαθμών που είδαμε:
| xi | fi | xi · fi |
|---|---|---|
| 7 | 3 | 21 |
| 8 | 6 | 48 |
| 9 | 7 | 63 |
| 10 | 4 | 40 |
| Σύνολο | 20 | 172 |
x̄ = 172 / 20 = 8,6
2. Διάμεσος (Δ ή Me)
Η διάμεσος είναι η τιμή που βρίσκεται στη μέση όταν τα δεδομένα είναι διατεταγμένα (από μικρότερο σε μεγαλύτερο).
n άρτιος: Δ = μέσος όρος των 2 μεσαίων τιμών
Παράδειγμα: n = 7 (περιττός)
Δεδομένα: 3, 5, 7, 8, 9, 12, 15
Θέση διαμέσου: (7+1)/2 = 4η θέση
Διάμεσος = 8 (η 4η τιμή)
Παράδειγμα: n = 6 (άρτιος)
Δεδομένα: 4, 6, 8, 10, 12, 14
Μεσαίες θέσεις: 3η και 4η (8 και 10)
Διάμεσος = (8 + 10) / 2 = 9
3. Επικρατούσα Τιμή (Mode)
Η επικρατούσα τιμή είναι η τιμή με τη μεγαλύτερη συχνότητα (εμφανίζεται πιο συχνά).
Παράδειγμα
Δεδομένα: 5, 7, 7, 8, 8, 8, 9, 10
Επικρατούσα τιμή = 8 (εμφανίζεται 3 φορές)
Πότε χρησιμοποιούμε τι;
Μέση τιμή: Όταν δεν υπάρχουν ακραίες τιμές
Διάμεσος: Όταν υπάρχουν ακραίες τιμές (δεν επηρεάζεται)
Επικρατούσα: Για ποιοτικά δεδομένα ή όταν ψάχνουμε την πιο "δημοφιλή" τιμή
Προσοχή στις ακραίες τιμές!
Μισθοί 5 εργαζομένων: 1000€, 1100€, 1200€, 1150€, 10000€
Μέση τιμή = 2890€ (παραπλανητική!)
Διάμεσος = 1150€ (πιο αντιπροσωπευτική)
Ασκήσεις
Βρες τη μέση τιμή των αριθμών: 12, 15, 18, 20, 25
Λύση
x̄ = (12 + 15 + 18 + 20 + 25) / 5 = 90 / 5 = 18
Βρες τη διάμεσο: 4, 8, 2, 10, 6, 12, 5
Λύση
Διατάσσω: 2, 4, 5, 6, 8, 10, 12
n = 7 (περιττός), θέση = 4η
Διάμεσος = 6
Βρες τη διάμεσο: 3, 7, 9, 11, 15, 20
Λύση
n = 6 (άρτιος)
Μεσαίες τιμές: 9 και 11 (3η και 4η)
Διάμεσος = (9 + 11) / 2 = 10
Από τον πίνακα, βρες μέση τιμή και επικρατούσα:
| Βαθμός | 5 | 6 | 7 | 8 |
|---|---|---|---|---|
| Συχνότητα | 2 | 5 | 8 | 5 |
Λύση
n = 2 + 5 + 8 + 5 = 20
Σ(xi·fi) = 5·2 + 6·5 + 7·8 + 8·5 = 10 + 30 + 56 + 40 = 136
x̄ = 136 / 20 = 6,8
Επικρατούσα = 7 (μεγαλύτερη συχνότητα: 8)
Αν η μέση τιμή 4 αριθμών είναι 15, ποιο είναι το άθροισμά τους;
Λύση
x̄ = Άθροισμα / n
15 = Άθροισμα / 4
Άθροισμα = 15 × 4 = 60
Υπολόγισε τη γωνία κυκλικού διαγράμματος για κατηγορία με σχετική συχνότητα 30%.
Λύση
Γωνία = (30 / 100) × 360° = 0,3 × 360° = 108°
Περίληψη
Τι μάθαμε:
- Στατιστική: Συλλογή, οργάνωση, ανάλυση δεδομένων
- Συχνότητα: Πόσες φορές εμφανίζεται μια τιμή
- Σχετική συχνότητα: f% = (f/n) × 100%
- Γραφήματα: Ραβδόγραμμα, Κυκλικό, Γραμμικό
- Μέση τιμή: x̄ = Σxi / n
- Διάμεσος: Η μεσαία τιμή (διατεταγμένα δεδομένα)
- Επικρατούσα: Η τιμή με τη μεγαλύτερη συχνότητα