Ακολουθίες με σταθερό λόγο
Μια ακολουθία αριθμών όπου ο λόγος δύο διαδοχικών όρων είναι πάντα σταθερός.
Ο σταθερός λόγος συμβολίζεται με λ (lambda).
Παράδειγμα: 2, 6, 18, 54, 162, ...
2 ×3 6 ×3 18 ×3 54 ×3 162λ = 3 (σταθερός λόγος)
Τύπος ν-οστού όρου
Ο πρώτος όρος
Ο κοινός λόγος: λ = αν+1 / αν
Αν |λ| < 1: οι όροι μικραίνουν
Αν |λ| > 1: οι όροι μεγαλώνουν
Αν λ < 0: οι όροι εναλλάσσουν πρόσημο
Εναλλακτικός τύπος
Αν |λ| < 1, τότε το άπειρο άθροισμα συγκλίνει:
S∞ = α1 / (1 - λ)
Βρείτε τον 6ο όρο της Γ.Π.: 3, 6, 12, ...
α1 = 3, λ = 6/3 = 2
α6 = 3 · 25 = 3 · 32 = 96
Υπολογίστε: 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32
Γ.Π. με α1 = 1, λ = 2, ν = 6
S6 = 1 · (26 - 1) / (2 - 1) = 64 - 1 = 63
Υπολογίστε: 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ...
α1 = 1, λ = 1/2 (|λ| < 1)
S∞ = 1 / (1 - 1/2) = 1 / (1/2) = 2
Βρείτε τον 5ο όρο της Γ.Π.: 2, 10, 50, ...
λ = 5, α5 = 2 · 54 = 2 · 625 = 1250
Υπολογίστε: 3 + 9 + 27 + 81 + 243
α1 = 3, λ = 3, ν = 5
S5 = 3 · (35 - 1) / 2 = 3 · 242 / 2 = 363
Υπολογίστε: 8 + 4 + 2 + 1 + ... (άπειρο)
α1 = 8, λ = 1/2
S∞ = 8 / (1 - 1/2) = 16