αx² + βx + γ = 0
Η εξίσωση 2ου βαθμού έχει τη γενική μορφή:
αx² + βx + γ = 0
όπου α, β, γ ∈ ℝ και α ≠ 0
Η διακρίνουσα καθορίζει το πλήθος των λύσεων
| Διακρίνουσα | Πλήθος Λύσεων | Λύσεις |
|---|---|---|
| Δ > 0 | 2 διαφορετικές πραγματικές ρίζες | x₁, x₂ |
| Δ = 0 | 1 διπλή πραγματική ρίζα | x₁ = x₂ |
| Δ < 0 | Καμία πραγματική ρίζα | ∅ |
Η πρώτη ρίζα
Η δεύτερη ρίζα
Λύστε: x² - 5x + 6 = 0
α = 1, β = -5, γ = 6
Δ = (-5)² - 4·1·6 = 25 - 24 = 1 > 0
x = (5 ± 1) / 2
x₁ = 3, x₂ = 2
Λύστε: x² - 4x + 4 = 0
α = 1, β = -4, γ = 4
Δ = 16 - 16 = 0
x = 4 / 2 = 2
x₁ = x₂ = 2 (διπλή ρίζα)
Λύστε: x² + x + 1 = 0
α = 1, β = 1, γ = 1
Δ = 1 - 4 = -3 < 0
Αδύνατη - Καμία πραγματική ρίζα
Σχέση ριζών με συντελεστές
Για x² - 5x + 6 = 0 με ρίζες x₁ = 3, x₂ = 2:
x₁ + x₂ = 3 + 2 = 5 = -(-5)/1 ✓
x₁ · x₂ = 3 · 2 = 6 = 6/1 ✓
αx² + γ = 0
x² = -γ/α
αx² + βx = 0
x(αx + β) = 0
x₁ = 0, x₂ = -β/α
Λύστε: 2x² - 7x + 3 = 0
Δ = 49 - 24 = 25
x = (7 ± 5)/4
x₁ = 3, x₂ = 1/2
Λύστε: x² - 9 = 0
x² = 9 ⇒ x = ±3
Λύστε: 3x² + 6x = 0
3x(x + 2) = 0
x₁ = 0, x₂ = -2