Ενότητα 1: Σύνολα
Τι είναι το Σύνολο;
Το σύνολο είναι μια συλλογή από διακριτά αντικείμενα που ονομάζονται στοιχεία του συνόλου.
Συμβολισμοί:
- Α = {1, 2, 3} Αναλυτικός τρόπος
- x ∈ Α το x ανήκει στο Α
- x ∉ Α το x δεν ανήκει στο Α
- ∅ ή { } Κενό σύνολο
Παραδείγματα
Λύση
• A = {1, 2, 3, 4, 5} Φυσικοί αριθμοί από 1 έως 5
• B = {x ∈ ℕ : x < 6} Ισοδύναμο με το A
• Γ = {α, β, γ, δ} Σύνολο γραμμάτων
Υποσύνολα
Το σύνολο Α είναι υποσύνολο του Β (Α ⊆ Β) αν κάθε στοιχείο του Α ανήκει και στο Β.
- Α ⊂ Β Γνήσιο υποσύνολο (Α ≠ Β)
- ∅ ⊆ Α Το κενό σύνολο είναι υποσύνολο κάθε συνόλου
- Α ⊆ Α Κάθε σύνολο είναι υποσύνολο του εαυτού του
Παράδειγμα
Αν A = {1, 2} και B = {1, 2, 3, 4}, τότε:
Λύση
• A ⊆ B ✓ (κάθε στοιχείο του A ανήκει στο B)
• A ⊂ B ✓ (A ≠ B, οπότε γνήσιο υποσύνολο)
• B ⊆ A ✗ (το 3 ∈ B αλλά 3 ∉ A)
Πράξεις Συνόλων
| Πράξη | Συμβολισμός | Ορισμός |
|---|---|---|
| Ένωση | A ∪ B | Στοιχεία που ανήκουν σε A ή B (ή και στα δύο) |
| Τομή | A ∩ B | Στοιχεία που ανήκουν και σε A και σε B |
| Διαφορά | A - B | Στοιχεία του A που δεν ανήκουν στο B |
| Συμπλήρωμα | A' | Στοιχεία που δεν ανήκουν στο A |
Παράδειγμα
Έστω A = {1, 2, 3, 4} και B = {3, 4, 5, 6}
Λύση
• A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
• A ∩ B = {3, 4}
• A - B = {1, 2}
• B - A = {5, 6}
Ιδιότητες Πράξεων
Αντιμεταθετική:
Προσεταιριστική:
Επιμεριστική:
Νόμοι De Morgan:
Διαγράμματα Venn
Τα διαγράμματα Venn είναι γραφικές αναπαραστάσεις συνόλων με κύκλους.
- Κάθε σύνολο αναπαρίσταται με έναν κύκλο
- Η τομή είναι η επικαλυπτόμενη περιοχή
- Η ένωση είναι όλη η περιοχή που καλύπτεται
- Το συμπλήρωμα είναι η περιοχή εκτός του κύκλου
Σύνοψη
- Σύνολο: Συλλογή διακριτών στοιχείων
- ∈, ∉: Ανήκει, δεν ανήκει
- ⊆, ⊂: Υποσύνολο, γνήσιο υποσύνολο
- ∪: Ένωση (ή)
- ∩: Τομή (και)
- A - B: Διαφορά
- A': Συμπλήρωμα
Ασκήσεις Εξάσκησης
Άσκηση 1
Αν A = {1, 2, 3} και B = {2, 3, 4, 5}, βρες A ∪ B και A ∩ B.
Λύση
• A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5}
• A ∩ B = {2, 3}
Άσκηση 2
Αν A = {x ∈ ℕ : 1 ≤ x ≤ 5}, βρες τα στοιχεία του A.
Λύση
A = {1, 2, 3, 4, 5}
Άσκηση 3
Αν A = {1, 2, 3, 4} και B = {3, 4}, είναι B ⊆ A;
Λύση
Ναι, γιατί 3 ∈ A και 4 ∈ A.